ペルチェ効果

Ver. ‘20.9.11.

ペルチェ効果に関する現象と性能指数について。
熱力学的な内容に限る。量子力学的な物性理論に関する話題は含まない。^※1

1. ペルチェ効果とゼーベック効果

2. 異種材料の接合

直列につないだ2種の物質に電流を流すと、接合部では吸熱あるいは発熱反応が起こる。図3。

3. ペルチェ素子

材料の両端に温度勾配を付け、さらに導線でつないで電圧をかけると材料が熱を運ぶ。
導線の抵抗、ペルチェ効果を無視すると、熱の流れは次のようになる。
\(Z\) が大きいほど \(J^{MAX}\) は大きくなる。
材料の冷却性能を性能指数 \(Z\) で示す。

低温側吸熱量（>0）

$$
J_C = \alpha T_C I – \frac{1}{2} R I^2 – K \Delta T \tag{5}
$$

高温側放熱量（>0）

$$
J_H = \alpha T_H I + \frac{1}{2} R I^2 – K \Delta T \tag{6}
$$

仕事量

$$
W = J_H – J_C = (\alpha \Delta T + IR)I \tag{7}
$$

最大吸熱時の吸熱量

$$
J_C^{MAX} = K \left( \frac{1}{2} Z T_C^2 – \Delta T \right) \tag{8}
$$

ここで、\(Z\) は、

性能指数の導出。式(5)が最大になる電流値 \(I_0\) は、
\(\frac{d}{dI} J_C = 0\) より求められる。
この時の吸熱量 \(J_{MAX}\) を求めると、

$$
\frac{d}{dI} J^{MAX} = \alpha T_C – RI = 0 \tag{10}
$$

を満たす \(I\) より、

$$
I_0 = \frac{\alpha T_C}{R} \tag{11}
$$

$$
J_C^{MAX}
= J_C(I=I_0)
= K \left\{ \frac{(\alpha T_C)^2}{2RK} – \Delta T \right\}
= K \left\{ \frac{1}{2} Z T_C^2 – \Delta T \right\} \tag{12}
$$

ここで \(\frac{d}{dI}\alpha=0\)、\(\frac{d}{dI}K=0\)、\(\frac{d}{dI}R=0\) を仮定した。
実使用時には、P型とN型をπ型に組んで（図5）、冷却側と放熱側のそれぞれを面で構成する。
また、一般にP型とN型の \(I_0\) は異なるので、最大の性能は引き出されない。

4. 補足：電気と熱の抵抗、電導度のアナロジー

電気：

$$
\Delta V = RI,\quad
R = \rho \frac{l}{S},\quad
\Sigma = \frac{1}{R} = \sigma \frac{S}{l},\quad
\sigma = \frac{1}{\rho} \tag{13}
$$

熱：

$$
\Delta T = R_T J,\quad
R_T = \rho_T \frac{l}{S},\quad
K = \frac{1}{R_T} = \kappa \frac{S}{l},\quad
\kappa = \frac{1}{\rho_T} \tag{14}
$$

参考文献

1. 戸田盛和『物理学30講シリーズ　第5講　分子運動30講』（朝倉書店）P177
2. 米沢富美子『ブラウン運動』物理学One Pointシリーズ 27（共立出版）